Analyse van Differentiaalvergelijkingen

Het modelleren van verschijnselen uit de technische wetenschappen en natuurkunde komt dikwijls neer op het combineren van constitutieve- en balansvergelijkingen, en daarmee op een formulering in termen van differentiaalvergelijkingen. Afhankelijk van de aard van het probleem krijgen we te maken met (stelsels) gewone of parti le differentiaalvergelijkingen en met nevencondities in de vorm van begin- en/of randwaarden.

In deze tweede editie richten we ons op tweedejaars studenten Wiskunde en Natuurkunde in de nieuwe bachelor's structuur. De behandelde stof veronderstelt een eerstejaars calculus achtergrond en enige elementaire lineaire algebra. Voor zover abstracte begrippen aan de orde komen, is gekozen voor een vorm waarbij wiskundigen n natuurkundigen zich thuis voelen: hier en daar wordt een bewijs uitgewerkt en naar de wat abstracte literatuur verwezen zonder de begripsopbouw voor de natuurkundigen te veel te verstoren.

Natuurlijk ligt bij een inleidende cursus als deze de nadruk op elementaire en werkbare technieken die de studenten in de latere fase van hun studie nodig hebben. Daarnaast hebben we getracht ook enkele moderne ontwikkelingen te laten doorklinken. Met name het 'klassieke' standpunt dat iedere differentiaalvergelijking exact oplosbaar is in termen van een min of meer expliciete uitdrukking (de zogenaamde analytische oplossing), ondervindt concurrentie van de filosofie van het kwalitatief redeneren. Immers, dikwijls kan nuttige informatie uit een differentiaalvergelijking worden verkregen, bijvoorbeeld over stabiliteit van evenwichten, zonder de oplossing zelf te kennen. Om dit te ondersteunen behandelen we uitvoerig de fasevlakanalyse voor gewone differentiaalvergelijkingen en vergelijkingsprincipes voor parti le differentiaalvergelijkingen. Tevens worden een tweetal voorbeelden van niet-lineaire parti le differentiaalvergelijkingen behandeld, waaronder de vergelijking van Burgers.

Inhoud: Deel I Beginwaardeproblemen voor gewone differentiaalvergelijkingen

1 Fundamentele aspecten van beginwaardeproblemen 2 Tw eede-orde lineaire di erentiaalvergelijkingen 3 Stabiliteit van evenwichten van niet-lineaire autonome stelsels A Existentie door middel van de expliciete Euler-methode Deel II Eigenwaardeproblemen en bijzondere functies

4 Eigenwaardeproblemen in de quantummechanica 5 Methode van machtreekssubstitutie 6 Tweede-orde randwaardeproblemen Deel III Parti le Differentiaalvergelijkingen

7 Formulering en achtergrond van de problemen 8 De di usievergelijking 9 De Laplace-vergelijking 10 Golfvergelijking 11 Enkele niet-lineaire vergelijkingen Literatuur Index

http://www.vssd.nl/hlf/a007.htm